2.3 整数运算
2.3.1 无符号加法
对于两个限定范围的非负整数，它们的和通常处于一个更大的范围之中。编程语言支持限定精度的运算，故定义一种无符号数加法的运算$+^u_w$
无符号数加法
对满足$0 \leq x, y < 2^w$的x和y有：
$$x +^u_w y = \begin{cases}x + y, & x + y < 2^w \\x + y - 2^w, & 2^w \leq x + y < 2^{w+1}\end{cases}$$
只要检验无符号数加法后的结果是否比原来的两个加数小，就能够判定结果是否发生了溢出
2.3.2 补码加法
补码进行运算的时候，同样存在溢出的问题，但补码存在正负问题，形势相对复杂一些。
补码加法
对满足$-2^{w-1} \leq x, y \leq 2^{w-1} - 1$的整数x和y，有：
$$x +^t_w y = \begin{cases}x + y - 2^w, & 2^{w-1} \leq x + y \\x + y, & -2^{w-1} \leq x + y < 2^{w-1} \\x + y + 2^w, & x + y < -2^{w-1}\end{cases}$$
虽然区分无符号加法和补码加法，但是两者从位级的角度来看是相同的。这是因为对位级而言，两者都是相加后截取w位的结果。
如果x>0，y>0，但补码加法后<0，则发生了正溢出，如果x<0，y<0，但补码加法后>0，则发生了负溢出。
2.3.3 补码的非
对于$TMin_w \leq x \leq TMax_w$中的数字x，其在补码加法下的加法逆元，一般为-x，但是注意到$-TMin_w = TMax_w + 1$，这时我们从定义出发，$TMin_w$的加法逆元就是其本身。
2.3.4 无符号乘法
无符号乘法从位级上来看，仍和之前的加法类似，直接相乘的基础上截取低w位。
无符号数乘法
对满足$0 \leq x, y \leq UMax_w$的x和y有：
$$x *^u_w y = (x \cdot y) mod 2^w$$
2.3.5 补码乘法
无论是无符号乘法还是补码乘法，它们的位级表示是一样的，
补码乘法
对满足$Tmin_w \leq x, y \leq TMax_w$的x和y有：
$$x *^t_w y = U2T_w((x \cdot y)mod 2^w)$$
2.3.6 乘以常数
整数乘法指令相比于其他整数运算慢得多，故编译器会尝试用位移和加法运算代替乘以常数的运算。
通过位移运算，能够迅速计算乘以2的幂的结果，那么将要乘的数分解为2的幂的和，再通过乘法分配律，就能用位移运算和加法运算表示乘以任意一个常数的运算了。
2.3.7 除以2的幂
整数除法比整数乘法更慢。
除以2的幂也可以用位移运算实现。
无符号除法使用的是逻辑右移。
补码除法，使用算数右移，效果为向下舍入。这种舍入，在为负数时，就造成了右移和除以2的幂结果不相等的情况。为了解决这个问题，可以通过移位前偏置这个值来修正。具体的做法也很简单，假设除以的时2的k次幂，那么在右移前先给原数加上(1<<k)-1。
2.4 浮点数
目前，所有计算机都支持IEEE浮点为标准。
2.4.1 二进制小数
二进制小数的概念类比于十进制小数。
形如$b_mb_{m-1} \ldots b_1b_0 \ldotp b_{-1}b_{-2} \ldots b_{-n-1}b_{-n}$这样的二进制小数，表示的数b
$$b = \sum^m_{i=-n}2^i \times b_i$$
2.4.2 IEEE浮点表示
IEEE浮点标准用$V = (-1)^s \times M \times 2^E$表示一个数：
- 符号 s的取值（0或者1）决定了这个数的正负
- 尾数 M是一个二进制小数
- 阶码 E是一个权值
这种表示方法其实类似于科学记数法，当然限于存储的位数和表示的本身，浮点数的精度是有限的，正如1/3也不可能用科学计数法精确表示。
当把这种标准具体到实际，情况要稍微复杂一些。
浮点数的位划分为三个字段：
- 符号位s编码为符号s（直接编码）
- k位的阶码字段exp编码为阶码E
- n位小数字段frac编码位尾数M
根据exp的值，exp和frac的编码方式是不同的，这要划分为三种不同的情况：
规格化的值
当exp的位模式既不全是0，也不全是1，就是这种情况。
此时，阶码E=e-Bias，其中e是一个无符号数，其位模式就是exp，Bias是$2^{k-1}-1$；尾数M=1+f，其中f的位模式是0.frac（就是在frac的位模式前面加上一个0和一个小数点）。非规格化的值
当exp的位模式全为0时，表示的就是非规格化的值。
此时，E=1-Bias，M=f。特殊值
当exp的位模式全为1时，就是特殊值，其实就两种，无穷大和NaN。
当frac全为0时，代表无穷大，否则就是NaN（不是一个数）。
2.4.4 舍入
面对实数运算时，浮点数面临了精度问题，而舍入就是在限制条件下，找到一个最接近的匹配值。IEEE浮点格式定义了四种舍入方式。
- 向偶数舍入：这种舍入方式总是舍入为最接近该数的数，例如1.4舍入为1，3.6舍入为4。当遇到中间值时，如1.5，就朝舍入后最低有效为偶数的方向舍入，如1.5舍入为2，4.5舍入为4。
- 向零舍入：就是朝零的方向舍入，即正数向下舍入，负数向上舍入。
- 向下舍入
- 向上舍入
默认采用向偶数舍入。
2.4.5 浮点运算
浮点加法具有交换性，单调性，但不具备结合性。
浮点乘法具有交换性，有单调性，但没有对加法的分配性。